Cours de maths PE2

On en a parlé vendredi à l'IUFM (d'ailleurs qu'est-ce qu'on a parlé !) et on a pensé que récupérer les cours de maths de PE2 pourrait nous être utile. Ne sait-on jamais !

Au fait, il y a moyen de mettre ça quelque part en pièce jointe ou je copie ça dans la case réponse ?

J'ai cherché partout, et, ou j'ai pas trouvé, ou je suis vraiment pas douée mais je crois qu'il va falloir copier le message dans la case réponse! désolée!

Séance 7
Les mathématiques en maternelle (1) (3h)


les évaluations :
Vous trouverez le document de cadrage sur notre nouvel espace de partage
http://listes.ac-nancy-metz.fr/wws
Vous vous connectez avec vos identifiants académiques (ceux de l’adresse électronique) et vous vous rendez dans vos abonnements et la liste se nomme :
pe2cepinal@ac-nancy-metz.fr
Vous pouvez utiliser cette adresse pour envoyer un message à tous les membres du groupe.

Précision importante : vous serez également évalué sur les progressions que vous devez déposer dans cet espace (cf travail engagé dans la séance 2)

les mathématiques en maternelle
3 séances de 3h (2 cette semaine, 1 en janvier avant le stage filé C1)
1ère séance : les spécificités des mathématiques en C1
2ème séance : étude des domaines d’activité, exemples de situations
Programmations par niveau
(Amener ordinateurs portables comme dans la séance 2)
3ème séance : constructions des séances du stage R3


I/ étude d’une séquence filmée : les wagons (ermel)
Visionnage de la séquence DVD  (16 min 30):
Questions :
Identifier :
· Les acquis vraisemblables des enfants au départ.
· Les différentes situations d’apprentissage et leur rôle (objectif de chaque phase).
· Les différents types d’organisation et leur rôle.
· Comment est réalisée l’appropriation du problème ?
· Le processus d’évaluation (côté maître et côté enfants).




Synthèse :
La Situation « Wagons » elle-même
Première étape :
Aller chercher des voyageurs pour que toutes les places soient occupées .Aucune place ne doit rester libre.
Deuxième étape :
Aller chercher, en un seul voyage, juste assez de voyageurs pour que toutes les places soient occupées.
La collection de voyageurs est posée sur le quai.



La Structure de la séquence (plus d’un mois)
Wagons Wagons Wagons Wagons
Le Goûter Les Jetons Les Bûchettes


La Situation de Référence « Wagons ».
Première étape : Perception des quantités égales (relation « un pour un »).
Deuxième étape : « juste assez de voyageurs en un seul voyage ».

- Action : un problème à résoudre

Tâche : « utiliser le nombre (fourni par comptage des objets) pour réaliser une collection (de passagers) équipotente à une collection donnée (de places).

- Validation : par le milieu matériel

Quantité de passagers préparée sur le quai.

Comparaison des deux collections par correspondance terme à terme (vérification des quantités égales) .

Constat de l’échec : manque d’une connaissance pour réussir.

Les Situations d’enseignement
· Etayage :
- Interaction entre les enfants
- Interventions du maître : aide à l’explicitation des stratégies, à l’analyse des raisons d’un échec
- Apprentissage de la comptine.

· Diversité des milieux matériels :
- repérage de la similitude des situations
- consistance du nombre.

Les wagons comme situation d’évaluation
- Reprise de la situation : alternance individuel/ groupes.

- Evaluation pour l’enfant : « a-t-il appris à faire ? »

- Evaluation pour le maître : « la connaissance visée est-elle acquise ? »


Le Dispositif
- Problème posé dans un contexte matériel.
- Résolution par la pensée (anticipation, prévision).
- Validation matérielle (de la solution pensée).
- Processus par adaptation (à partir de l’échec, l’enfant élabore sa connaissance).
II/ Quelles mathématiques en maternelle ?
Quels apprentissages mathématiques en Maternelle ?
1) Quels Objectifs de l’enseignement des mathématiques en Maternelle ?
· Les champs de connaissances « rattachées aux mathématiques »
(cf. documents d’accompagnement p 20)
- développement de la pensée logique
- repérage dans l’espace
- découverte des formes et des grandeurs
- approche des quantités et des nombres
- le temps qui passe
(cf. séance 8 pour le développement)

· Le jeu : passer du « apprendre en jouant » à « jouer pour apprendre ».

2) Les différents types de situations propices à des apprentissages ?
· Activités rituelles : Calendrier, comptage des enfants, codages d’informations
(cf. documents d’accompagnement. p22)

· Activités fonctionnelles : prise en charge par élèves d’actions pour le fonctionnement d’une activité.

· Ateliers de jeux : société, puzzles…

· Situations d’enseignement construites pour permettre aux élèves de s’approprier une connaissance précise.

3) Différentes formes d’apprentissage ?
· Situations « par familiarisation » ou « par frayage ».

· Situations « par adaptation » : les connaissances prennent du sens par les problèmes qu’elles permettent de résoudre


Quelques Modalités
1) Le rapport au réel
vivre un apprentissage par les sens
expérience personnelle
action sur un matériel (renvoi au programme).
rétroaction (réponse a une action décidée par enfant).
support papier : réalisation matérielle ou simulation d’un vécu antérieur.

2) Organisation
activité rituelle : implication dirigée.
atelier d’apprentissage : présence du maître.
atelier en autonomie : activité sans présence du maître.

3) Jeux de l’accueil
transition espace prive / espace classe
mise en situation : mise au calme, éveil de l’attention.
environnement stimulant : éveil, autostimulation.
poursuite d’apprentissage.
découverte de supports matériels nouveaux.

4) Importance des transitions
moments de clôture.
moments de lancement
moments de recentrage.

5) Le langage
transmission d’une consigne : reformulation.
mime d’une consigne (démonstration par un enfant).
étayage du langage par le maître
langage naturel : action, sens (ex : « juste assez »)


III/ Quelques précisions sur…
…les conditions d’apprentissages
Extraits de « activités numériques à la maternelle » A. Descaves, S. Vignaud, Hachette (p247à 249)


…les rituels
1) les généralités :
Les activités rituelles ont une grande importance à la maternelle et représentent des cadres de fonctionnement collectifs. Il s’agit de mettre en place dans la classe un milieu consacré à la célébration du savoir.
On peut distinguer plusieurs fonctions :
une fonction sociale :
Par leur efficacité silencieuse, ils permettent une distribution des places et des rôles de chacun
Leur fonctionnement permet l’adoption de postures, de gestes adaptés, d’attitudes conventionnelles propices aux apprentissages.

Une fonction chronologique :
« Qu’est-ce qu’il nous reste à faire ? Qu’est-ce qu’on va faire ? »
Les rituels définissent clairement les places respectives de l’enseignant et des élèves


Une fonction intégrative
Ils permettent la construction d’un savoir commun partagé par tous.
L’élève devient membre d’un collectif de travail.
Devenir élève c’est apprendre avec les autres pour se construire soi-même.

Les rituels vont apporter à l’élève les repères comportementaux nécessaires.

2) Du point de vue des mathématiques
Les activités rituelles, sur un long terme, vont permettre une construction durable des connaissances.

Les aspects géométriques
Le maître incite les élèves à participer à l’appel en leur posant des questions du type « Paul est-il là ? », «  Quels sont les voisins de Paul dans la classe ? », «Les voisins de Paul sont-ils là ? », « Qui est en face de Paul dans la classe ? » 
La suite va amener à travailler les repères corporels et les relations topologiques.
(cf. « du rite de l’appel…à des activités mathématiques » C. Houdement, M.L. Peltier in
Grand N spécial maternelle tome 1 p 113 à122 1999-2000)

Les aspects numériques
Le moment consacrée à l’appel peut-être l’occasion :
de travailler sur la comptine
d’affiner les performances sur les petits nombres (appel par tables)





Bibliographie
« Vers les mathématiques : Quel travail en maternelle ? »
(Nouveaux programmes – Document d’accompagnement).

« Quelles Activités Mathématiques en Maternelle » Actes du Colloque COPIRELEM- Chamonix 2000

« activités numériques à la maternelle » A. Descaves, S. Vignaud, Hachette

« du rite de l’appel…à des activités mathématiques » C. Houdement, M.L. Peltier in Grand N spécial maternelle tome 1 p 113 à122 1999-2000)

« Ermel apprentissages numériques GS », Hatier

Séance 14
Le calcul mental (3h)


Dernière séance : les jeux mathématiques (jeudi 24 mai)
Chacun doit ramener au moins un jeu dont il pense qu’il pourrait avoir un lien avec les maths (logique, numération, géométrie…)


Progressions sur liste de diffusion
Il manque encore beaucoup de progressions et d’évaluations




I/ définition et objectifs
Voir le diaporama
Les stagiaires recherchent les exemples à la diapositive n°8




II/ Quelles compétences travaillent-on à l’école primaire ?

Les nouveaux programmes 2007
On peut observer que les seuls changements par rapport aux programmes précédents concernent le calcul et notamment le calcul mental qui bénéficie d’un traitement particulier.

Le document d’accompagnement des programmes en calcul mental reste pleinement d’actualité dans le cadre de ces programmes 2007


Les compétences en calcul automatisé
Travail sur les tables de Pythagore
solution

Les compétences en calcul réfléchi
Cf document d’accompagnement


III/ Quelle mise en œuvre dans les classes ?

quatre types de séances
séance d’apprentissage d’une technique (x10), d’un fait déclaratif (table de 7) :
(temps long ‘Calcul réfléchi’) accompagnée d’une séance de production d’écrit « si la règle en vaut la peine »

séance d’entraînement sur une technique construite : séries homogènes
(temps court ‘Calcul en voie d’automatisation’)

séance de réinvestissement : ex par jeux

séance d’évaluation : seul rapidité et résultat comptent


format des séances
Il est possible de proposer deux séances de mathématiques dans la journée (en exploitant le quart d’heure quotidien à part), il est nécessaire de souligner l’organisation très souple.
Trois formats de séances, qui peuvent s’intégrer dans l’emploi du temps :
- des séances courtes
- des séances moyennes
- des séances longues



Quelques supports

Les séries
À utiliser lors de séances courtes ou en autonomie
Les fiches de F. Michon
Les fiches d’Orléans-Tours
http://www.ac-orleans-tours.fr/maths/article.php3?id_article=121
Des fiches pour travailler ses tables sur le site d’un enseignant de Vaulx-en-Velin
http://bdemauge.free.fr/ (rubrique « tables » dans le menu déroulant de gauche)
à voir également son jeu avec le dodécaèdre

Les jeux
Les jeux du document d’accompagnement des programmes (voir page 47)
Les jeux proposées par mes collègues de l’IUFM d’Étiolles
Jouer avec les stagiaires au trio
Jouer avec les stagiaires au jeu du furet (ou ping-pong avec multiples de 5 et 3)
Jouer au jeu de Syracuse
Les jeux de François Boule (voir p 36)
À télécharger pour 5 € sur le site des éditions Didier : www.editionsdidier.com (rubrique publication numérique dans le menu de gauche
-le jeu des tables de Pythagore (voir page 11)




IV/ Et la calculatrice dans tout ça ?

Des jeux pour les stagiaires
On peut travailler le calcul mental avec les calculatrices


Des jeux pour les élèves
Extrait de Activités numériques - Cycle 3 - CRDP Nord-Pas de Calais
Dans le document d’accompagnement « utiliser les calculatrices en classe » (voir page 63)






Bibliographie
BOULE François (1998). Etapes du calcul mental. Grand N n°62 p.15-34. Grenoble : IREM de Grenoble.
ERMEL Apprentissages numériques et résolution de problèmes : les activités y sont dispersées par sous-thème.
Lethielleux Claire (1992-93). Paris : Armand Colin, Pratiques Pédagogiques.
Le calcul mental au cycle des apprentissages fondamentaux (CP/CE1)
Le calcul mental au cycle des approfondissements (CE2,CM1,CM2) idem :
PELTIER, M.L et al. (2005) Activités de calcul mental cycle 2 et cycle 3. Hatier
MEN (2005) Le calcul mental à l’école primaire. In Document d’accompagnement des programmes de Mathématiques. 32- 49. Editions SCEREN –CNDP

Séances courtes
Remarque : une séance d’oral collectif : 10 minutes max

Proposition de séances courtes 1  :
5 à 10 minutes avec le procédé Lamartinière
(cf article du café pédagogique http://www.cafepedagogique.net/lesdossiers/Pages/calcul_index.aspx )
- aspect rapide, routinisé, aspect militaire
- il s’agit d’associer l’aspect auditif et visuel
- le PE a ainsi l’occasion de prendre « la température » de la classe (évaluation globale)
Objectif : entraînement à la maîtrise/ systématisation de résultats / évaluation formative
Temps de travail : déconnecté de la séance de mathématique, par exemple juste après la récréation, pour recentrer l’attention. On peut envisager à l’issue de la séance de faire discuter de la difficulté des calculs.
Contenu : - pas plus de 10 questions 
- dépend de l’objectif


Proposition de séances courtes 2  
Objectif : évaluation de résultats et de procédures utilisées
Durée : 10 minutes
Pré requis : avoir au préalable fait émerger le travail avec les arbres à calcul
Description : séance de comparaison de procédures et une évaluation pour le maître sur les arbres à calcul : les élèves doivent choisir un calcul à faire parmi 4 propositions, et le faire à l’aide d’un arbre à calcul
Exemple : 7 + 6 ?

Proposition de séances courtes 3  :
exploitation des « temps morts » en jouant à des jeux numériques (avec les cartes, les dominos), en remplissant des fiches

Séances longues
Il faut varier les structures pédagogiques ainsi que les supports écrits ou oraux.
Durée : une séance de mathématiques de 30 minutes
Objectif : Les séances sont longues lorsqu’il y a besoin de prendre du temps.
- occasion d’introduire un jeu numérique (qui sera ensuite routinisé lors des séances courtes)
- première rencontre et dégagement /identification de la technique: il n’est pas forcément intéressant de faire écrire explicitement une règle dès le temps de la première rencontre avec la technique
- émergence et comparaison de procédures
- travailler sur l’écriture des règles
- évaluation en exploitant différentes modalités, Lamartinière, sous forme de fiches, …, pour cibler différentes compétences
- émergence des faits numériques
- travail sur choix des techniques

 Pour faire passer certaines techniques proposées par les enfants, sans que ce soit trop lourd, après émergence de différentes procédures :
- temps 1 : proposer « à la manière de » pour toute la classe
- temps 2 : laisser le choix de la technique
Pour les quelques enfants en difficulté (repérés dans des activités préalables) : le travail sur « à la manière de » doit être explicité, énoncé par ces enfants, systématisé pour les (3 ou 4), dans un dialogue spécifique avec eux.

Les tables d'additions sur la table de Pythagore

D’après les programmes et les accompagnements des programmes, sont apprises au cycle 2 : table de 1, table de 2, table de 5, double, table de 10.

Ceci est noté C2 dans la table de Pythagore de l’addition ci-dessous.


Donc, sur les 100 faits numériques à apprendre, en fin de cycle 2, il ne reste que 30 faits numériques à apprendre.

Si règle de la commutativité est connue, il ne reste en fait que 15 faits numériques à apprendre (la symétrie du tableau).

Si on s'appuie sur ce qui est déjà connu « à 1 près » « en ajoutant 1 de plus », on aura :
pour la table de 3 : « ajouter 3, c'est ajouter 2, puis ajouter 1 » ou « ajouter 3, c'est ajouter 1 de plus que 2 »
pour la table de 6, « ajouter 6, c'est ajouter 5, puis ajouter 1 » ou « c'est ajouter 1 de plus que 5 »
Les cases correspondantes sont notées +1 dans la table.

Si on s'appuie sur ce qui est déjà connu « à 1 près », « en prenant 1 de moins », on a
pour la table de 4 : « ajouter 4, c'est ajouter 5, puis retrancher 1 » ou « c'est ajouter 1 de moins que 5 »
pour la table de 9 : « ajouter 9, c'est ajouter 10, puis retrancher 1 » ou « c'est ajouter 1 de moins que 10 ».
Les cases correspondantes sont notées -1.

Dans la table de Pythagore, il ne reste alors que 2 faits numériques à mémoriser. Mais en fait on les obtient, comme certains autres précédents en s'appuyant sur les doubles :
3 + 4, c'est 3 + 3 +1
7 + 8 c'est 7 + 7 + 1
Ils sont notés d+1 dans le tableau.



Les tables de multiplication sur la table de Pythagore

Ce qui a été travaillé au cycle 2 est noté C2. Il s’agit des tables de 2, de 5, de 10.


Sur les 81 faits numériques à apprendre, en fin de cycle 2, il ne reste que 36 faits numériques à apprendre.

Avec la commutativité de la multiplication, il ne restera à apprendre que les 6 faits de la diagonale et 14 autres.

En cherchant les quadruples, notés q , il ne reste que 5 faits sur la diagonale et 10 autres faits à apprendre.

En s'appuyant sur des faits connus et par proximité « additive »..., on peut dire que :
fois 3, c'est fois 2 plus une fois (noté x3)
fois 6, c'est fois 5 plus une fois (noté x6)

En tenant compte de la commutativité, il ne reste alors que 6 faits à apprendre « bêtement », dont 3 sont sur la diagonale :
8x7 et/ou7x8
9x7et/ou 7x9
9x8 et/ou 8x9
7x7, 8x8, 9x9.

Avec cette démarche, on comprend peut-être mieux pourquoi souvent la table de 7 est la moins bien connue…
A partir des tables de Pythagore de l’addition et de la multiplication et avec l’aide des documents d’accompagnement, trouvez :
-les faits numériques qui doivent être connus en fin de cycle2 (en fin de CP pour l’addition)
-les règles ou procédures sur lesquelles on peut s’appuyer pour construire avec les élèves les faits numériques manquants au début du CE2 (en CE1 pour l’addition)

Séance 12-13

La géométrie au cycle 2 (5h)

I/ Les napperons
Une situation problème en géométrie
Napperon initial et autres napperons
Faire des napperons sur internet à l’adresse suivante :
http://snowflakes.barkleyus.com


II/ Résolution de problèmes et géométrie : la situation « petit moulin »
Dans les documents d’application des programmes de mathématiques du cycle 2, on peut lire :

« La plupart des notions enseignées à l’école élémentaire peuvent, à l’aide d’activités bien choisies et organisées par l’enseignant, être construites par les élèves comme outils pertinents pour résoudre des problèmes, avant d’être étudiées pour elles-mêmes et réinvesties dans d’autres situations. Les problèmes proposés doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles dont le sens sera progressivement enrichi. »

« Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute activité nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie (…). C’est parfois, dans le cadre d’un travail ultérieur, en étudiant d’autres aspects de la notion en jeu ou d’autres concepts, qu’une compétence non maîtrisée à un certain moment pourra être consolidée »

A partir de là on peut distinguer deux manières d’appréhender la construction des savoirs mathématiques au cycle 2 : - les situations problèmes pour la première partie (ex fourmillions)
- les apprentissages en situation à travers des projets

Apprentissages en situation : le projet
Il s’agit pour les élèves d’aboutir à la réalisation d’un produit finalisé. Ce produit est choisi de manière à ce que son élaboration nécessite la convocation de connaissances mathématiques. Pour construire l’objet, il va falloir utiliser ces dernières. Il y a alors deux possibilités : soit ces connaissances vont être utilisées de manière implicite par les élèves et l’enseignant devra les rendre explicites, soit leur introduction va être motivée par la nécessité de les utiliser.
Il s’agit alors d’un apprentissage en situation.

La situation « Petit moulin » en CE1 est le support d’un apprentissage en situation.
Travail d’anticipation à partir d’une vidéo


La séquence complète : fiches de préparation petit moulin.doc

III/ des exemples de mise en situation :

Les activités du document d’accompagnement des programmes
activités géométriques au cycle 2 acompagnement des programmes.doc
Lien pour le télécharger :http://www.cndp.fr/produits/

Les cubes de Babylone
Construction d’un cube avec une enveloppe
Fiche de construction
« Pliages et mathématiques » Valérie Larose Didier Boursin ACL-éditions

Le cube de Babylone et les cubes SOMA
Présenter un prolongement possible au C3 avec la représentation de l’assemblage

Les cubes articulés
Défi : comment fixer 8 cubes pour reconstituer le solide présenté
Solution


exemples d’autres situations :
Reconnaissance de figures simples dans des figures complexes
( atelier B1 copirelem Strasbourg 2005)
Reproduction et géométrie en cycle 1 et 2
(revue grand N n° 67)


les problèmes ouverts en géométrie
Les problèmes de rallyes
Exemple : le rallye de la marne http://perso.wanadoo.fr/fabien-emprin/rmem/ressources.htm
Voir exercices 3, 7, 8, 10 rallye de la marne 2004.pdf

Placer les chiffres de 1 à 8 sur les sommets d’un cube de manière que chaque face totalise la même somme

Les petits carrés : (revue grand N n° 76)
petits carrés (pb ouvert).doc



« Apprentissages géométriques aux cycles 2 et 3 »
J-F Grelier CRDP Midi-Pyrénées

Les boîtes, les polydrons, les tétracubes
Pour travailler les compétences spatiales
boites, polydrons,tetra C2(grelier).doc
voir aussi polydrons en maternelle et C2

Les robots
Les robots C2 (grelier).doc

Les mosaïques
mosaïques C2 (grelier).doc et progression

Le géoplan
Un matériel pour travailler la représentation sur papier pointé
Géoplan C2 (grelier).doc
Recherche de tous les carrés du géoplan 5x5 papier pointé géo5x5.doc

Les progressions
progressions géo CP-CE1(grelier).doc

le tangram
Présentation et progression

Des activités de tracé
Présentation et progression

L’alignement
La symétrie
Le jeu du portrait



IV/ Les prolongements au cycle 3

Les situations ERMEL
(« Apprentissages géométriques et résolution de problèmes Cycle 3 » Hatier)
Exemple d’une progression sur la perpendicularité
Cas du parallélisme : les feuilles qui coulissent (p6-7)
Le trapèze à terminer (p
Les traces de roue (p 11)
Parapuzzle, rotonde (p 12-13)

Le sommaire de l’ouvrage


Des solides particuliers

Le kaléidocycle
Descriptif
Patron
Mise en œuvre au CM

L’octomobile
Fiche de fabrication (p 10)
Patron

le petit moulin

Séance 1
Objectifs
Présenter aux élèves l’enjeu de la situation : construire un moulin dont le modèle est donné ;
Faire prendre conscience que le petit moulin est constitué de disques de tailles différentes ;
Faire émerger la nécessité d’un outil adapté à la construction de ces disques.
Tâches des élèves
Décrire le moulin accroché au tableau ;
Représenter les pièces du petit moulin sur une feuille blanche.
Matériel
Un grand moulin fixé au tableau ;
Un petit moulin pour deux élèves ;
12 enveloppes pour ranger les pièces des petits moulins (une enveloppe par binôme) ;
24 feuilles blanches.
Organisation : Alternance entre travail collectif, travail individuel et travail en binôme.

Déroulement
Phase 1 (collective) : présentation du grand moulin (aspect esthétique et culturel)
Un moulin en grande dimension est accroché au tableau.
Consigne : « Je vous ai apporté quelque chose que je vais vous faire voir maintenant. Je voudrais savoir ce que cela représente pour vous. »
Recueillir les représentations des élèves pour se mettre d’accord sur le fait que c’est un moulin.
Consigne : « Est-ce que ces différentes parties du moulin vous font penser à des formes géométriques particulières ? »
On s’attend à « carré », « triangle » et « rectangle ».

Phase 2 (par binôme puis individuelle) : démontage des petits moulins et représentation des pièces du moulin
Un petit moulin est distribué pour deux élèves et le maître leur propose de l’ouvrir pour mieux observer les pièces qui le composent.
Consigne : « Je vais vous demander de dessiner au feutre toutes les pièces qui constituent ce moulin. »
On s’attend à récupérer 6 disques (un grand, un moyen et 4 petits de la même taille).
Le maître ramasse les productions et affiche les plus intéressantes : productions faisant apparaître les pièces pliées et dépliées, avec utilisation ou non des pièces comme gabarits.
Il fait mettre en même temps les pièces du petit moulin dans une enveloppe par binôme.

Phase 3 (collective) : mise en commun et analyse des productions d’élèves
Le maître rassemble les élèves devant le tableau et fait expliquer les différentes procédures utilisées.
On fera porter l’attention sur la régularité des cercles, leur taille, sur le fait que les pièces qui constituent le moulin
ne sont pas des triangles ou des carrés mais des disques pliés.
On introduira le vocabulaire géométrique adapté : « cercle », « disque » au lieu de « rond ».
Faire émerger :
la nécessité de construire 6 disques de tailles différentes ;
les stratégies de construction ;
l’outil adapté : le compas.

Phase 4 (collective) : synthèse de la séance
Le maître fait le bilan de la séance avec les élèves.
« Pour construire le moulin, il va falloir tracer 6 cercles : un grand pour le mur, un moyen pour le toit et quatre petits
pour les ailes.
On utilisera pour cela le compas. La prochaine fois, on apprendra à se servir d’un compas. »
Annexes séance 1 : Matériel professeur

Matériel à préparer
Un grand moulin pour le tableau
Disque pour le mur de rayon (de 25 à 30cm)
Disque pour le toit de rayon (de 15 à 20 cm)
4 disques pour les ailes de rayon (de 10 à 15 cm)
Un petit moulin pour deux élèves
Dimensions des disques :
- petits disques de diamètre 5cm,
- moyens disques de diamètre 8cm,
- grand disque de diamètre 10 cm.
Gabarit de carré : carré de diagonale 10cm donc dont la longueur du côté est proche de 7,06cm.
Gabarit de triangle rectangle isocèle : triangle rectangle isocèle inscrit dans un cercle de diamètre 8cm : les
côtés de l’angle droit ont pour longueur approximative 5,66cm.

Séance 2
Objectifs
Évaluer les compétences des élèves sur les tracés à l’aide du compas ;
Mettre en place le vocabulaire géométrique de la figure tracée correspondant à l’action sur l’outil technique :
– écartement des branches du compas ��rayon du cercle ;
– la pointe du compas ��le centre du cercle.
Tâches des élèves
Tracer un grand nombre de cercles sur papier uni ;
Tracer des cercles concentriques sur papier uni.
Matériel
Un compas par élève, un compas pour le tableau ;
De nombreuses feuilles de papier uni ;
Un support à mettre sous les feuilles afin que la pointe du compas ne glisse pas ;
Une affiche de synthèse.
Organisation : Les élèves effectuent individuellement leurs constructions tout en échangeant sur leurs difficultés avec leurs voisins. Les moments de mise en commun sont collectifs.


Déroulement
Phase 1 (collective) : rappel de la séance
Trois productions sont mises au tableau : deux réalisées à main levée et une réalisée avec des gabarits
Consigne : « Qu’avait-on découvert au sujet de la construction du moulin ? »
On s’attend à : 6 disques de tailles différentes. On renvoie les élèves aux productions affichées.
Consigne : « Voici deux productions faites à main levée. Est-ce que l’on peut tracer des cercles ainsi et pourquoi? » …
« Peut-on avoir toutes les tailles lorsque l’on trace des cercles avec un modèle ou un gabarit ? »…
« Vous aviez proposé un outil, lequel ? »…

Phase 2 (individuelle) : tracés de cercles quelconques
Consigne : « Nous allons nous entraîner à utiliser le compas pour tracer des cercles. Vous allez tracer plusieurs cercles de tailles différentes. Posez la feuille sur votre grand cahier de découverte du monde pour éviter que cela ne glisse. »
Faire reformuler la consigne, faire passer les feuilles.
Passer parmi les élèves : repérer qui éprouve des difficultés.
Sélectionner des productions réussies et non réussies qui seront affichées au tableau.

Phase 3 (collective) : mise en commun et analyse des productions d’élèves
Plusieurs productions sont affichées au tableau. Les élèves sont regroupés devant le tableau.
Consigne : « Alors, comment fait-on pour tracer des cercles ? »
On s’attend à des réponses sur la manière de tenir le compas et de placer la feuille.
Consigne : « Comment appelle-t-on l’endroit que l’on pique avec la pointe du compas ? »
On fera émerger le terme de « centre » et le maître montre au tableau comment le représenter à l’aide d’une croix. En utilisant cette représentation, le maître trace un grand cercle au tableau.
Puis « Vous voyez l’écartement de mon compas, c’est ce que l’on appelle le rayon du cercle. Qu’est-ce qui va se passer si je l’écarte davantage ? »
Plus on écarte les branches du compas, plus le rayon est grand ; la taille du cercle augmente.
Conclusion : c’est le rayon qui détermine la taille du cercle.

Phase 4 (individuelle) : tracés de cercles concentriques
Consigne : « Vous allez, sur une deuxième feuille, tracer un très grand cercle puis à l’intérieur de ce cercle d’autres cercles de plus en plus petits mais avec le même centre. »
Faire reformuler la consigne.
Le maître aide les élèves en difficulté dans le maniement du compas.
Pour ceux qui réussissent bien leur proposer de dessiner une rosace.
Mettre des feuilles à disposition sur le bureau.

Phase 5 (collective) : synthèse de la séance
Revenir sur ce que les élèves ont fait.
Reformuler les conseils pour bien tenir son compas et pour bien tracer un cercle.
Rappeler le vocabulaire mis en place : centre et rayon ; cercle et disque.
Montrer l’affiche de synthèse en spécifiant que c’est la trace mémoire de la classe et faire préciser ce qui est le cercle et ce qui est le disque sur l’affiche.
Terminer la séance par : « la prochaine fois, on apprendra à faire encore autre chose avec le compas ».
Séance 3
Objectifs
Poursuivre l’entraînement des élèves aux tracés de cercles sur papier uni ;
Faire le lien entre l’objet technique (le compas) et l’objet géométrique (le cercle) ;
Donner du sens aux notions de rayon (report d’une longueur) et de centre.
Tâches des élèves
Construire des cercles dont le rayon est donné ;
Reproduire des figures construites à partir de cercles de tailles différentes ;
Compléter une fiche outil.
Matériel
Un compas par élève, un compas pour le tableau ;
Un support à mettre sous les feuilles afin que la pointe du compas ne glisse pas ;
Une feuille d’exercices par élève et une feuille agrandie pour le tableau ;
Une fiche outil par élève et une affiche agrandie pour le tableau ;
Feuille calque pour valider la construction des cercles.
Organisation : Travail individuel, avec moment collectif. Aide de l’enseignant.

Déroulement
Phase 1 (collective) : rappel de la séance 2
Consigne : « Nous reprenons notre travail dans le but de construire nos moulins. La semaine dernière, nous avons utilisé le compas, qu’avons nous appris sur son maniement ? »…
Puis concernant le cercle : « Que savons nous des différents éléments du cercle et du disque ? »…
Faire référence à l’affiche.
Puis « Aujourd’hui nous allons encore manier le compas pour vous entraîner à faire des cercles, vous en avez besoin, et pour apprendre à prendre la longueur du rayon pour faire des cercles d’une taille donnée. On en aura besoin pour construire les moulins. »

Phase 2 (individuelle) : finir des cercles à partir d’arcs de cercles
Distribuer l’exercice « finir les cercles ».
Consigne : « Que faut-il faire ? Comment va-t-on s’y prendre ? »
On s’attend à « piquer la pointe du compas sur la croix et poser la mine de crayon sur le morceau de cercle construit ».
Passer parmi les élèves et observer.

Phase 3 (individuelle) : construire des cercles de rayon fixé
Distribuer l’exercice « construction de cercles » et les feuilles de calque.
Faire lire la consigne et faire expliquer la démarche. Le cercle devra être construit dans la case.
Montrer un exemple sur la feuille accrochée au tableau.
Consigne : « Comment vérifie-t-on que l’on a réussi ? »
Utilisation du papier calque pour vérification des cercles.
Passer parmi les élèves et donner une aide personnalisée au maniement du compas et à la prise de la longueur des rayons.

Phase 4 (individuelle) : reproduire des figures complexes constituées de cercles sur quadrillage ou sur papier uni
Au fur et à mesure de l’avancement des travaux d’élèves, distribuer le travail en autonomie (reproduction sur quadrillage et le bonhomme de neige).

Phase 5 (collective) : élaboration de la fiche technique du compas
Mettre la fiche outil au tableau.
Consigne : « On va voir les différentes parties du compas et leur rôle. »
Faire verbaliser par les élèves sur la fonction des différentes parties du compas. On complète ainsi la fiche outil :
le haut��pour tenir le compas ;
les branches��règlent l’écartement et donnent le rayon ;
la pointe��devient le centre du cercle ;
le crayon ou la mine��trace le cercle ;
Annoncer la construction du moulin pour la séance suivante.
Faire coller la fiche outil dans le cahier.

Séance 4
Objectifs
Apprendre à utiliser une fiche technique décrivant les différentes phases de construction du moulin et précisant le rayon des disques à fabriquer.
Tâches des élèves
Comprendre la fiche technique avec ses différentes étapes ;
Construire les disques pour fabriquer les ailes et le toit.
Matériel
Un compas par élève, un compas pour le tableau ;
Un support à mettre sous les feuilles afin que la pointe du compas ne glisse pas ;
Une fiche technique par élève (elle sera réécrite au tableau) ;
Un programme de construction des étapes 1 et 2 par élève (le programme agrandi affiché au tableau) ;
Un carton bristol par élève pour les ailes, un second pour le toit ;
Une feuille calque pour deux élèves pour valider la construction des disques ;
Un gabarit de triangle pour le toit ;
Le grand moulin en pièces détachées au tableau pour montrer les formes à obtenir ;
Une paire de ciseaux par élève ;
Une enveloppe par élève pour ranger les pièces de son moulin.
Organisation
Travail individuel, avec moment collectif. Aide de l’enseignant.

Déroulement
Phase 1 (collective) : rappel de la séance 3
Consigne : « Aujourd’hui nous allons commencer la construction de nos petits moulins. Pour cela je voudrais faire un rappel sur la façon de construire un cercle quand on en connaît le rayon. »
Montrer cela au tableau
x-------------------)
« Vous allez devoir tracer des cercles dont le rayon est donné sur le carton. S’il y a plusieurs cercles de même rayon à tracer vous vérifiez le rayon à chaque fois. »

Phase 2 (collective) : comprendre la fiche technique
Distribuer la fiche technique
Consigne : « Je vous distribue un document qui va vous aider à construire le moulin. Vous le lisez silencieusement et on en parle. »
Explication des différentes étapes indiquées sur cette fiche. Puis distribution du programme de construction des ailes. Faire lire le programme avant de le faire coller dans l’espace réservé à la première étape de la fiche technique.
Distribuer les feuilles de calques pour la validation ;

Phase 3 (individuelle) : construire les ailes du moulin
Distribuer le carton pour les ailes
Consigne : « Prenez votre compas et commencez. »
Prévoir du carton en plus pour les ratés.
Passer parmi les élèves et les aider.

Phase 4 (individuelle) : construire le toit du moulin
Distribuer le carton pour le toit et le gabarit de triangle au fur et à mesure des réussites des élèves
Passer parmi les élèves et les aider.

Phase 5 (collective) : conclusion
Informer les élèves de l’avancement des constructions et dire que l’on finira la prochaine fois.
Séance 5
Objectifs
Poursuivre l’entraînement à la construction de cercles dont le rayon est donné ;
Réinvestir les compétences travaillées dans un problème de reproduction complexe.
Tâches des élèves
Reproduire une chenille constituée de cercles tangents ;
Construire les disques pour fabriquer le mur ;
Assembler toutes les pièces du moulin.
Matériel
Un compas par élève, un compas pour le tableau ;
Un support à mettre sous les feuilles afin que la pointe du compas ne glisse pas ;
Une fiche technique par élève (elle sera réécrite au tableau) ;
Un programme de construction des étapes 3 et 4 par élève (le programme agrandi affiché au tableau) ;
Un carton bristol par élève pour le mur et une attache parisienne ;
Une feuille calque pour deux élèves afin de valider la construction des disques ;
Un gabarit de carré pour la construction du mur ;
Le grand moulin en pièces détachées au tableau pour montrer les formes à obtenir ;
Une paire de ciseaux par élève ;
Une enveloppe par élève pour ranger les pièces de son moulin ;
Une feuille de reproduction de la chenille par élève et la chenille dessinée au tableau.
Organisation
Travail individuel, avec moment collectif. Aide de l’enseignant.

Déroulement
Phase 1 (collective) : rappel de la séance 4
Consigne : « La semaine dernière, nous avons commencé à construire les moulins. Nous allons les terminer aujourd’hui. Mais d’abord nous allons nous entraîner à utiliser le compas pour reproduire un dessin. »

Phase 2 (individuelle) : reproduction d’une figure complexe
Distribuer la chenille.
Consigne : « Allez-y »
Passer parmi les élèves et observer les procédures et les difficultés.
On s’attend à ce que les centres ne soient pas alignés, que les cercles ne se touchent pas.

Phase 3 (collective) : analyse de la construction de la chenille
Faire ressortir les éléments auxquels il fallait faire attention pour reproduire correctement la chenille.

Phase 4 (individuelle) : construire le toit du moulin et assembler toutes les pièces
Rassembler les élèves autour de la fin de la construction des pièces du moulin.
Faire rappeler ce qui a déjà été construit, vérifier les étapes de construction sur la fiche technique.
Distribuer les instructions des deux dernières étapes.
Distribuer le carton pour construire le disque qui servira de support au mur et le gabarit de carré. Montrer comment placer le gabarit.
Pour l’assemblage, le maître passera faire un trou dans l’ensemble des pièces pour y introduire l’attache parisienne.
Passer parmi les élèves et les aider.
Pour ceux qui ont terminé plus tôt, leur distribuer d’autres reproductions à réaliser (la frise, le petit ours) en autonomie.

Phase 5 (collective) : conclusion de la séquence d’apprentissage
Consigne : « Qu’avons-nous appris en construisant le moulin ? »
« Qu’est-ce qu’un cercle ? A quoi sert le compas ? »
« Qu’avez-vous préféré ? Pourquoi ? Qu’est-ce qui a été difficile ? »

Les objets de l’école : l’octomobile1

Nicole Bonnet


Extrait des actes du XXVIIème Colloque Inter-IREM des formateurs et professeurs de mathématiques chargés de la formation des maîtres - Tours 2001.

Cet article présente le compte rendu d’un atelier du colloque.
A partir d’un objet, les participants sont invités à mettre en œuvre une démarche scientifique pour le fabriquer. Il s’agira ensuite d’exploiter ses propriétés intrinsèques qui sont prétextes à travailler des concepts de géométrie plane. Cette activité est directement exploitable en formation initiale et continue des professeurs des écoles.

1. Introduction

Dans ce qui suit, il y a lieu de distinguer deux niveaux. Le premier consiste en l'étude, en vue de la fabrication, d'un objet non plan nommé octomobile. Il peut être considéré comme une sorte de "solide". C'est un objet technologique. En second lieu, cet objet est considéré comme producteurs d'objets aplatis variés sur lesquels un regard géométrique va être porté.

2. Mise en oeuvre et consigne

L'objet est présenté de façon rapide en faisant remarquer qu'il est fabriqué en bristol blanc donc peu coûteux, peu volumineux, facile à transporter, à conserver et réutilisable.
Il est très peu manipulé par le responsable de l'atelier qui en laisse la découverte aux participants. La consigne orale s'avère très stricte : "vous pouvez le tourner et le retourner dans tous les sens, mais vous n'avez pas le droit de le démonter, d'écrire dessus. Il devra m'être rendu intact. Dans un premier temps, vous devez l'observer afin d'en fabriquer un qui soit pareil. Vous noterez tout ce qui semble vous poser problème ou ce qui vous questionne. Puis, vous allez réfléchir à de possibles utilisations en classe".

Un octomobile est distribué par personne.


Je mets pas la suite vous me le demanderez si vous la voulez car il y a plein de dessins que le forum accepte pas dans le collé

La géométrie mentale
1.      Ses objectifs
 

Donner aux élèves la possibilité d’envisager mentalement une figure, indépendamment des contraintes de tracé aux instruments.
 

Faire utiliser le vocabulaire géométrique en situation et évaluer sa compréhension et sa mobilisation.
 

Favoriser la liaison entre la description d’une figure et sa représentation graphique.
 

Montrer l’intérêt du tracé à main levée pour représenter une figure géométrique et en percevoir les propriétés.
 

Permettre une prise de conscience des propriétés des figures et une approche de l’argumentation.
 

Faire évoluer chez les élèves le statut de la figure géométrique, en dépassant le simple dessin géométrique aux instruments.
 
 
3.      Des exemples.
(si vous avez proposé d'autres exemples intéressants à vos élèves,
veuillez me le faire savoir; merci à P. Tocant, C. Colonna d'Istria, A. Veniat,  F. Foucat et J. Popy)
1.  Trace une ligne courbe ouverte.
2. Trace une ligne courbe fermée.
3. La figure est formée d’une ligne droite et d’un point placé sur la ligne.
4. La figure se compose d’une ligne droite et d’un point placé à l’extérieur de la ligne.
5. La figure se compose d'une ligne droite et de trois points, deux sur la droite et un à l'extérieur de la droite.
6. La figure se compose d’un segment de droite et d’un point placé au milieu du segment.
7.  La figure se compose d’un segment de droite AB et d’un point placé en dehors du segment.
8.  Tracer deux lignes droites qui se coupent au point O.
9.  Tracer deux droites parallèles.
10.  Tracer deux droites perpendiculaires.
11. Tracer deux droites parallèles et une autre droite qui les coupe.
12. Tracer deux droites parallèles et deux autres droites parallèles qui coupent les deux premières.
13.  Tracer deux droites parallèles et deux autres droites qui coupent les deux premières.
14.  Tracer deux droites perpendiculaires et marquer un point à l'extérieur des deux droites.
15.  Tracer un segment AB et un segment AC.
16.  Tracer un segment AB et un segment BC qui est perpendiculaire à AB.
17.  Cette figure est formée d’un segment et d’une droite qui passe par le milieu de ce segment.
18. Tracer un segment de droite, marque son milieu, puis trace une droite qui passe par ce milieu et qui est perpendiculaire au segment.
19. Tracer un segment AB. Marquer le point O milieu du segment AB puis tracer une ligne droite qui passe par O et qui est perpendiculaire au segment.
20. La figure est formée d’un cercle et d’un diamètre de ce cercle.
21.  Tracer un cercle de centre le point O et d’un deuxième cercle qui passe par O.
22. Cette figure est formée d'un cercle de centre O et d'une droite qui passe par O. A et B sont les points d'intersection du cercle et de la droite.
23. Cette figure est formée de trois lignes droites parallèles. Elles sont coupées par une quatrième droite qui n’est pas perpendiculaires aux trois autres.
24. Cette figure est formée d’un cercle et de deux diamètres perpendiculaires.
25. Tracer un cercle de centre O et un deuxième cercle passant par O. Nommer A et B leurs points d'intersection.
26. Cette figure est formée de trois segments. Deux sont parallèles. Le troisième est perpendiculaire aux deux premiers.
27. Tracer deux droites parallèles, puis tracer deux segments qui sont perpendiculaires à ces deux droites.
28. Tracer un rectangle, puis un cercle. Un diamètre du cercle est un petit côté du rectangle.
29. Dessiner un segment AB. Tracer le cercle de centre A qui passe par B et le cercle de centre B qui passe par A.
30. Cette figure est formée de deux cercles, un grand et un petit. Les deux cercles ont le même centre.
31. La figure est formée de deux carrés qui ont un sommet en commun.
32. La figure est composée d’un carré et d’un triangle rectangle. Ils ont un côté en commun.
33. Dessiner un carré puis tracer un cercle qui passe par deux sommets du carré. Son centre est au milieu d’un des côtés du carré. Marquer tous les angles droits.
34. Dessiner un carré puis tracer un cercle qui passe par deux sommets du carré. Son centre est un des sommets du carré. Marquer tous les angles droits.
35. Dessiner un carré puis tracer un cercle. Son centre est un des sommets du carré. Son rayon est égal à un des côtés du carré. Marquer tous les angles droits.
36. Dessiner un rectangle et tracer ses diagonales. Dessiner un cercle qui passe par les quatre sommets du rectangle.
37. Tracer une droite et un rectangle. Deux des côtés du rectangle sont parallèles à la droite.
38. Dessiner un rectangle et tracer ses diagonales qui se coupent au point O. Tracer un cercle de centre le point O. Son rayon est égal à la moitié d’une diagonale du rectangle.
39. Cette figure est un quadrilatère. Ses diagonales sont perpendiculaires et égales.
40. Cette figure est un carré avec ses deux diagonales. Marquer tous les angles droits.
41. Cette figure est formée d’un cercle et d’un triangle. Les trois sommets du triangle sont sur le cercle. Un des côtés du triangle est le diamètre du cercle.
42. Tracer un losange puis un parallélogramme. Ils ont un côté en commun.
43. La figure est formée de deux carrés : un grand et un petit. Les sommets du petit carré sont les milieux des côtés du grand carré.
44. La figure est formée d’un cercle et d’un carré. Le cercle passe par les quatre sommets du carré.
45. La figure est formée d’un carré et d’un triangle. Le triangle a un côté commun avec le carré et se trouve à l’extérieur du carré.
46. Tracer un carré. Tracer un demi-cercle de diamètre un côté du carré, situé à l’extérieur du carré.
47. Cette figure est formée d’un carré, de ses deux diagonales et des segments qui relient les milieux des côtés opposés.
48. Tracer deux carrés, un grand et un petit. Le petit carré est à l'intérieur du grand. Tracer les diagonales du petit carré.
49. Cette figure est formée de deux carrés, un grand et un petit. Deux côtés du petit carré sont sur les côtés du grand carré. Un sommet du petit carré est au point de rencontre des diagonales du grand carré.
50. Cette figure est formée d’un carré et d’un cercle. Le cercle passe par deux sommets du carré.
51.  Cette figure est formée d’un carré et d’un cercle. Le centre du cercle est le milieu d’un côté du carré.
52. Tracer un quadrilatère ABCD.
53. Tracer un rectangle ABCD. Tracer ses diagonales qui se coupent en O.
54. Tracer un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
55. Tracer un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et égales.
59. Cette figure est formée d’un cercle et d’un triangle. Les trois sommets du triangle sont sur le cercle. Un des côtés du triangle est un diamètre du cercle.
60. Tracer un losange et un triangle qui ont un côté commun.
61. Tracer un quadrilatère qui a deux angles droits et deux seulement.
62. La figure est formée de deux carrés qui ont un sommet en commun.
63. Tracer deux segments qui ont le même milieu. Joindre les extrémités de ces deux segments.
64. Tracer deux segments qui sont perpendiculaires et ont le même milieu. Joindre les extrémités de ces segments.
65. Tracer deux segments qui se coupent et ont la même longueur. Joindre les extrémités de ces segments.  
66. Dessiner un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
67. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et deux seulement.
68. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et deux seulement.
69. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et un angle droit.

Séance 11
Problèmes pour apprendre et additifs
au cycle 2 (3h)


Plan de l’intervention: -problèmes pour apprendre au cycle2 (projets et situations problèmes)
Visionnage de la situation : combien de bûchettes
-les problèmes additifs dans les manuels
Comparatif des démarches cap maths - j’apprends les maths

Pour la séance du mardi 20 mars amener votre matériel de géométrie (règle, equerre, compas…), une paire de ciseaux, du scotch, quelques enveloppes longues (sans fenêtre), du papier cartonné
I/ Problèmes pour apprendre au cycle 2 (45 min)
Dans les documents d’application des programmes de mathématiques du cycle 2, on peut lire :

« La plupart des notions enseignées à l’école élémentaire peuvent, à l’aide d’activités bien choisies et organisées par l’enseignant, être construites par les élèves comme outils pertinents pour résoudre des problèmes, avant d’être étudiées pour elles-mêmes et réinvesties dans d’autres situations. Les problèmes proposés doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles dont le sens sera progressivement enrichi. »

« Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute activité nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie (…). C’est parfois, dans le cadre d’un travail ultérieur, en étudiant d’autres aspects de la notion en jeu ou d’autres concepts, qu’une compétence non maîtrisée à un certain moment pourra être consolidée »

A partir de là on peut distinguer deux manières d’appréhender la construction des savoirs mathématiques au cycle 2 : - les situations problèmes pour la première partie
- les apprentissages en situation à travers des projets

Apprentissages en situation : le projet
Il s’agit pour les élèves d’aboutir à la réalisation d’un produit finalisé. Ce produit est choisi de manière à ce que son élaboration nécessite la convocation de connaissances mathématiques. Pour construire l’objet, il va falloir utiliser ces dernières. Il y a alors deux possibilités : soit ces connaissances vont être utilisées de manière implicite par les élèves et l’enseignant devra les rendre explicites, soit leur introduction va être motivée par la nécessité de les utiliser.
Il s’agit alors d’un apprentissage en situation.
Nous verrons en géométrie la situation « Petit moulin » en CE1 qui est le support d’un apprentissage en situation.

Les situations problèmes :
Pour qu’une situation soit source d’élaboration de connaissances, elle doit, selon nous, correspondre aux critères suivants :
– la situation doit mettre en jeu la connaissance dont l’apprentissage visé est explicité dans les objectifs ;
– la réponse ne doit pas être immédiate, sinon ce serait un simple exercice de réinvestissement ;
– l’élève ne doit pas rester muet devant le problème : il doit pouvoir s’engager dans la résolution avec ses connaissances antérieures. Mais il doit aussi avoir à chercher pour les adapter et les faire évoluer.
L’enseignant doit alors choisir les supports et matériels adéquats (variables didactiques), les types de tâche de sorte que les connaissances actuelles des élèves fassent apparaître des procédures erronées ou trop coûteuses pour impliquer la connaissance visée. S’il le juge nécessaire, il peut proposer une tâche d’appropriation ;
– la validation doit être à la charge des élèves. La tâche permet à l’élève de se rendre compte de l’exactitude ou non de sa démarche de résolution. Dans la mesure du possible, la validation concerne non seulement le résultat, mais aussi les procédures employées pour résoudre la situation.


À partir de la prise de conscience par les élèves de leur insuffisance de connaissances, deux possibilités se distinguent :
– les élèves sont capables de découvrir la nouvelle connaissance en modifiant leurs procédures primitives ;
la nouvelle connaissance ne peut pas être découverte par les élèves eux-mêmes, c’est l’enseignant qui l’apporte mais cette connaissance doit apparaître aux élèves comme le seul moyen de résoudre la situation.

Pour illustrer ce que peut être une situation problème au cycle 2 nous allons visionner la 1ère séance d’une situation de CP appelée « Combien de bûchettes ? » . (En CP, elle a pour objectif d’introduire le groupement par dix et de commencer à donner du sens à l’écriture chiffrée des nombres. Elle a été proposée aux élèves de CP au mois de mars)
(extrait du DVD « enseigner les mathématiques au cycle2 » par Muriel Fénichel et Catherine Taveau CRDP Créteil)
Montrer la situation du château sur DVD réunion (début 1min 10)

Les séances
La progression
II/ Les problèmes additifs dans les manuels au cycle 2 (… min)

Champ conceptuel additif : la typologie de Vergnaud
Composition de deux états
→ recherche du composé
Dans un bouquet il y a 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs ?

→ recherche d’une partie
Dans un bouquet de 15 fleurs composé de roses et d’iris, il y a 8 roses. Combien y a-t-il d’iris ?

Transformation d’un état
→ recherche de l’état final
Jacques avait 17 billes. Il en a gagné 5. Combien en a-t-il maintenant ?l

→recherche de l’état initial
Jacques a gagné 5 billes. Il en a maintenant 22. Combien en avait-il avant la partie ?

→ recherche de la transformation
Jacques avait 17 billes avant de jouer cette partie. Il en a 22 à la fin de la partie. Combien en a-t-il gagné ?

Comparaison d’états
→ recherche de l’un des états
Bernard possède 25 petites voitures. Il en a 5 de plus que charles. Combien Charles en a-t-il ?

→ recherche de la comparaison
Dans un magasin un jouet vaut 45€. Il vaut 37€ dans un autre magasin. De combien est-il moins cher dans le 2ème magasin

Composition de transformations
→ recherche de la transformation composée
Fabien a joué 2 parties de billes. A la 1ère partie, il a gagné 15 billes et à la 2ème il en a perdu 8. Au total, en a-t-il gagné ou perdu et combien ?

→ recherche de l’une des composantes
Au jeu de l’oie, Julie joue deux coups. Au deuxième coup, elle avance de 9 cases. Au total elle a reculé de 4 cases. Que s’était-il passé au premier coup

Cette typologie issue de la recherche en didactique a trouvé un écho dans les programmes du cycle 2 où on peut lire p 16 dans le domaine exploitation de données :

« – Dans des situations où une quantité (ou une valeur) subit une augmentation ou une diminution, déterminer la quantité (ou la valeur) initiale, ou trouver la valeur de l’augmentation ou de la diminution.
– Déterminer une position initiale sur une ligne graduée, avant un déplacement en avant ou en arrière ou déterminer la valeur du déplacement.
Dans des situations où deux quantités (ou valeurs) sont «réunies», déterminer l’une des quantités (ou l’une des valeurs).
- Dans des situations où deux quantités (ou deux valeurs) sont comparées, déterminer l’une des quantités (ou l’une des valeurs) ou le résultat de la comparaison.
– Dans des situations de partage ou de distribution équitables, déterminer le montant de chaque part ou le nombre de parts.
– Dans des situations où des objets sont organisés en rangées régulières, déterminer le nombre total d’objets, le nombre d’objets par rangées ou le nombre de rangées.
– Dans des situations où plusieurs quantités (ou valeurs) identiques sont réunies, déterminer la quantité (ou la valeur) totale, l’une des quantités (ou des valeurs) ou le nombre de quantités (ou de valeurs). »



Analyse de manuels (cap maths - j’apprends les maths – pour comprendre les maths)
A partir de là se pose la question de la manière dont les manuels tiennent compte de cette typologie et plus largement quelle place est laissée à la résolution de problèmes. Nous allons donc étudier 3 collections :

1ère phase : grille d’analyse par niveau :
Pour un niveau d’une collection on s’intéresse à tous les problèmes du champ conceptuel additif et on remplit la grille fournie.
Période
Type de séances
Objectifs du maître
Typologie de Vergnaud
Contexte (ordinal, cardinal, mesure…)
Procédures envisagées
symbolisme

2ème phase : synthèse par collection :
Recomposition des groupes CP et CE1 de la même collection et on fait la synthèse en présentant une affiche qui doit répondre aux questions suivantes :

- Comment et quand sont introduits les signes + et -, les mots, les expressions ?

- Quelles activités permettent de développer les compétences en calcul mental ?

- Quels types de problèmes (quels types de situations) sont proposés aux enfants ?
A quel moment ? Y a-t-il une progression explicitée ?

- Quelles représentations sont utilisées ?

- Comment amènent-on les enfants à prendre conscience que la soustraction et l'addition à trou sont des procédures équivalentes ?

(C’est-à-dire : comment l'enfant arrive-t-il à utiliser des procédures qui ne soient plus dépendantes de la situation évoquée ?
Par exemple dans le problème " Pierre a 9 billes, il joue et, après la partie, il a 15 billes,
Combien a-t-il gagné de billes ? " Comment l'enfant arrive-t-il à passer de la procédure
9 + ? = 15 (qui représente la situation) à la procédure 15 - 9 = ? (Qui représente la solution)
La démarche de Cap Maths (qui est aussi celle de Ermel car mêmes auteurs) peut donc se résumer de la façon suivante :

- des problèmes sont proposés aux enfants
- les enfants élaborent des procédures (personnelles, à leur niveau, différentes de l'un à l’autre)
- ces procédures sont explicitées, reconnues, comparées
- un langage (mots ou signes) est introduit pour les désigner
- ces procédures reposent sur et nécessitent des connaissances (en particulier des connaissances
Numériques) qui sont dégagées
- ces connaissances, ces procédures sont " entraînées " par l'usage (principalement dans des jeux numériques), pour être maîtrisées et pouvoir devenir de nouveaux outils
- de nouveaux problèmes sont proposés
- etc. ........

La maitrise du calcul va donc résulter de l'évolution des procédures , en particulier , pour l'addition et la soustraction , des procédures de comptage , va passer par les échanges entre enfants, par la reconnaissance des relations entre les nombres, par la mémorisation de certains résultats , par l'usage et l'entrainement.
Ex : progression soustraction CE1-CE2 (ermel).doc



Brissiaud part de l’hypothèse suivante: « Le développement des compétences en calcul mental a des effets bénéfiques sur la résolution de problème» « Ce n'est pas à force de compter que les enfants apprennent à calculer »
La démarche de j’apprends les maths peut se résumer de la façon suivante :

- l'apprentissage du calcul n'est pas fondé sur une amélioration des procédures de comptage mais sur une représentation des quantités.

- les procédures de calcul ne découlent pas " naturellement " de la résolution de problèmes, elles sont enseignées et systématiquement entraînées.

- calcul et problèmes fonctionnent de façon indépendante :

- d'un côté le calcul (« acquisition des savoir-faire fondamentaux " ) par entraînement des procédures enseignées.

- de l'autre côté des " ateliers de résolution de problèmes «, avec différents types de problèmes (additifs, soustractifs, multiplicatifs, de division, autres, ....) parmi lesquels des problèmes que les enfants peuvent résoudre à un niveau " expert «, d'autres que les enfants n'ont jamais appris à résoudre et qu'ils résolvent donc par différents moyens élémentaires .

l'interaction entre calcul et problèmes est réalisée par des " situations conflictuelles "
(Conflit entre l'économie de la représentation et l'économie de calcul)
Exemple : add.à trou(Br).doc

Sites Internet sur la géométrie au cycle 3



Document d’accompagnement des programmes : http://www.cndp.fr/produits/
Progression : http://perso.orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10.htm
La géométrie mentale : http://perso.orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-9.htm
Le tétra’aide : http://bdemauge.free.fr/


Bibliographie :
Apprentissages géométriques aux cycles 2 et 3
Jean-François Grelier Crdp Midi-Pyrénées
50 activités pour mesurer les longueurs au cycle 2
Natacha Hansel Crdp Lorraine

J'ai mis ce que j'ai pu, après s'il faut j'envoie les documents lourds personnellement à ceux qui en ont besoin : les bûchettes (45 pages !) et puis tout ce qui vous intéresse et qui n'a pas pu être mis sur le forum à cause des images....